克萊因瓶被稱為裝不進水的瓶子，1874年德國大數(shù)學(xué)家克萊因設(shè)計了一個瓶子，它裝不進水，當(dāng)然也就賣不出去，不過這個克萊因瓶卻使人們，特別是數(shù)學(xué)家大開眼界。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶沒有內(nèi)部和外部之分，克萊因瓶最先是由德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像。

還有一則科學(xué)幻想故事。故事的起因是有一個叫墨彼烏斯（M6bius)的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)制作了一個環(huán)（后人稱其為墨彼烏斯環(huán)）。此環(huán)制作起來很簡單，你不妨自己動手做一個：找一長長的紙條，在桌子上攤平，拿起一端，旋轉(zhuǎn)180°,然后跟另一端粘合，就制成了。墨彼烏斯環(huán)的內(nèi)壁和外壁是相通的，不信，你在你制作的墨彼烏斯環(huán)上涂抹一層糖漿，捉一只螞蟻，放在紙條上讓它順著紙條爬，可以目睹它從外環(huán)爬到內(nèi)環(huán)。墨彼烏斯環(huán)的環(huán)面不分里外，因此是二維的，可卻放在三維空間中。設(shè)想墨彼烏斯環(huán)是透明的，環(huán)里畫一頭黑色的驢，讓這頭驢順著環(huán)面前迸，轉(zhuǎn)著轉(zhuǎn)著，這二維世界的驢順著墨彼烏斯環(huán)轉(zhuǎn)一圈竟然顛倒過來了。如果你想像著小黑驢不離開紙面，原地旋轉(zhuǎn)，使四蹄仍然朝下，小黑驢的頭就朝向后方了：這表明，經(jīng)過墨彼烏斯環(huán)前進一圈的小黑驢已從“左向驢”變成了“右向驢”!于是，就有人想像，若把墨彼烏斯環(huán)從二維推演到三維，會存在一個只有一個開口的瓶子。（根據(jù)推理,它是一只放在四維空間里的三維物體?。┳钤缬袀€叫克萊因的人設(shè)想了這種空間，后人就把它稱之為克萊因瓶。如果一個左心人鉆進克萊因瓶轉(zhuǎn)一圈，就會變成右心人！有人設(shè)想，我們所在的宇宙就是一個如同克萊因瓶那樣的封閉的空間，如果從地球出發(fā)，到宇宙里去轉(zhuǎn)一圈，左心人就會變右心人！

要使瓶子能夠裝水，必須有兩個條件:第一，它蓋上蓋子后必須是封閉的，這是不言而喻的。一般人覺得這個條件就夠了，在現(xiàn)實生活中也的確如此?？墒强巳R因說，單這個條件還不夠，這個封閉曲面還必須是雙側(cè)的，也就是這個曲面必須有里外之分，換句話說，水在里面不能跑到外面來?？墒悄睦镉欣锿獠环值钠孔幽?在莫比烏斯帶的啟發(fā)下，克萊因認(rèn)為有這種可能性。  
克萊因的辦法是從一個兩頭開口的管子出發(fā)，如果把管子兩頭彎曲，一直彎曲到兩頭相遇，然后把它們粘接在一起，這樣就得到了一個環(huán)面。現(xiàn)在改變一個辦法，先將管子一端弄得一端稍粗一些，一端稍細(xì)一些，這從拓?fù)渖现v是容許的，它還是圓柱形。然后把兩頭彎曲，把細(xì)的一頭插到粗的一頭的管壁之內(nèi)，然后兩頭從里面相接近,在接口處可以看到兩個同心圓，大的一頭套著小的一頭，最后把小口放大，大口縮小，兩口重合粘接在一起，這樣得到的曲面如同環(huán)面一樣也是封閉的。但是，它是單側(cè)的，“外面”的一個小蟲沿曲面爬，最后也可以爬到里面。

美中不足的是，克萊因瓶在三維空間中一定存在著自交點，只有到了4維空間，它才有一個正則的嵌入。

正如射影平面可以通過環(huán)面對頂點相粘合而成?？巳R因瓶也可以通過球面對頂點相粘合而成。

我們可以把克萊因瓶沿著一條閉曲線剪開，這樣我們就得到兩條莫比烏斯帶。因此，我們也可以把克萊因瓶看成二條莫比烏斯帶沿公共邊界相粘接而成，它的單側(cè)性就更容易看出來了。