希爾伯待難題不一定全是對的

科學(xué)的問題來不得半點虛假，預(yù)測的東西不一定全對.盡管一個人才華橫溢，也有局限性，所提出的問題，不見得都是百分之百的正確.希爾伯特是目光銳利、智慧超群的數(shù)學(xué)家，已被舉世公認(rèn).可是他提出的第二個難題，業(yè)經(jīng)證明是錯誤的.不過否定這個難題，卻是經(jīng)過了極端艱難的過程。

這個難題是關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的內(nèi)容.在數(shù)學(xué)研究中，越是基本的理論，越難于證明，這是眾所公認(rèn)的.這類問題象人類思維史上的一座座高山峻嶺，只有那些具備驚人的數(shù)學(xué)才能和在崎嶇小路的攀登上不畏勞苦的人，才有希望到達(dá)險峻的頂峰。

人們常常是把經(jīng)過千百萬次實踐驗證，又是最根本的若干命題作為公理.歐氏幾何中的定義、公設(shè)或者公理都是人們經(jīng)驗的總結(jié)，是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種抽象的具有“自明性”的命題.在數(shù)學(xué)中，以較復(fù)雜的概念，公理做為基礎(chǔ),來推出其它的定理或命題，這種整理和敘述數(shù)學(xué)知識的方法,叫做公理化方法.它是數(shù)學(xué)論證方法中鋃常用的一種.人們不禁要問：是不是任何科學(xué)都能用同一套公理、定義做基礎(chǔ)呢？用一套公理能否推出數(shù)學(xué)里的所有定理呢？

希爾伯特的第二難題就是算術(shù)公理的無矛盾性.他希望借此證明：所有的數(shù)學(xué)定理都能由一組公理推出來。這種想法很好，它會使人易于掌握，同時，越是抽象的理論，應(yīng)用起來越是廣泛，然而，這種想法是辦不到的，嚴(yán)格的科學(xué)，特別是非常精確的數(shù)學(xué)，不能憑想象決定對錯，沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證是不能下定論的?？墒牵@個難題的證明，難度之大是難以想象的，二十世紀(jì)過了30多年，無論是肯定或者否定這個難埋的文章都沒有問世，甚至說毫無進(jìn)展.直到1931年奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾打破了希爾伯特的這一幻想，成功地證明了：任何一個公理化系統(tǒng)中，必定有一個命題不能由這組公理推出其正確與否.不少人看到了世界上第一個人否定了希爾伯特第二難題的證明，驚得目府口呆.因而，哥德爾的這一成就轟動了整個數(shù)學(xué)界，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上留下了重要的一頁。