牛頓第二定律教案，對(duì)于牛頓第二定律的理解

牛頓第二定律又叫牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律（Newton's second law of motion）闡明，物體的加速度與所受的凈力成正比，與質(zhì)量成反比，物體的加速度與凈力同方向。

牛頓第二定律亦可以表述為“物體的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率和所受外力成正比”。即動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于外力。

對(duì)于牛頓第二定律的理解

概述

牛頓第二定律表明，物體的加速度與凈外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與合外力方向相同。這定律又稱為“加速度定律”。以方程表達(dá)，

其中， 是合外力，是所有施加于物體的力的矢量和， 是質(zhì)量， 是加速度。

而數(shù)學(xué)上，牛頓第二定律通常表達(dá)為：

；

這里實(shí)際上定義了質(zhì)量為合外力與加速度的比率。這樣定義的質(zhì)量稱為物體的慣性質(zhì)量，是物體的固有屬性，與外力無(wú)關(guān)。這樣在數(shù)量上，施加于物體的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)制中，將力的單位定義為使得單位質(zhì)量的物體得到單位加速度的所需^[1]，這與慣性質(zhì)量的定義相容。

具體來說，力、加速度、質(zhì)量的單位分別規(guī)定為牛頓（N）、米每二次方秒（m/s²），公斤（kg）。施加1牛頓的力于質(zhì)量為1公斤的物體，可以使此物體的加速度為1m/s²。也就是說，

。

合外力只能造成物體朝著同方向的加速度運(yùn)動(dòng)。假定物體的質(zhì)量、初始速度與初始位置為已知量，則從施加于物體的合外力，可以應(yīng)用第二定律計(jì)算出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。這是一個(gè)非常有用的方法。

合外力與加速度都是矢量，這矢量方程實(shí)際是由三個(gè)標(biāo)量方程組成的。采用直角坐標(biāo)系 ，這三個(gè)標(biāo)量方程分別為

其中， 是  的分量。

合外力在每個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量只能影響加速度在那個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量，不能影響加速度的其它分量，而加速度對(duì)于每個(gè)軸的分量也只能被合外力對(duì)于那個(gè)軸的分量影響，不能被合外力的其它分量影響。

假設(shè)施加于物體的合外力為零，則加速度為零，速度為常數(shù)。由于動(dòng)量是質(zhì)量與速度的乘積，這意味著動(dòng)量守恒：當(dāng)施加于物體的合外力為零時(shí)，物體的動(dòng)量是常數(shù)。

牛頓的論述

原版第二定律的英文翻譯為

The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

“motion”是“quantity of motion”的簡(jiǎn)稱，在這里指的是物體的動(dòng)量?！癷mpressed force”指的是沖量。整個(gè)句子翻譯為

動(dòng)量的變化與沖量成同向正比。

牛頓試著解釋沖量與動(dòng)量之間的關(guān)系。假設(shè)施加于物體的沖量造成了物體的動(dòng)量改變，則雙倍的沖量會(huì)造成雙倍的動(dòng)量改變，三倍的沖量會(huì)造成三倍的動(dòng)量改變，不論沖量是全部同時(shí)施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動(dòng)量改變都一樣。

牛頓又試著解釋這動(dòng)量改變與原先動(dòng)量之間的關(guān)系。這動(dòng)量改變必定與施加的沖量同方向。假設(shè)在沖量施加之前，物體已具有某動(dòng)量，則這動(dòng)量改變會(huì)與原先動(dòng)量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設(shè)動(dòng)量改變與原先動(dòng)量呈某角度，則最終動(dòng)量是兩者按著角度合成的結(jié)果。

牛頓所使用的術(shù)語(yǔ)的涵意、他對(duì)于第二定律的認(rèn)知、他想要第二定律如何被眾學(xué)者認(rèn)知、以及牛頓表述與現(xiàn)代表述之間的關(guān)系，科學(xué)歷史學(xué)者對(duì)于這些論題都已經(jīng)做過廣泛地研究與討論。

質(zhì)量的操作定義

牛頓定義質(zhì)量為物體內(nèi)部所含有的物質(zhì)數(shù)量。這句話相當(dāng)合理。但是，它接著表示，這物質(zhì)數(shù)量，可以從物體的密度與體積乘積求得。德國(guó)物理學(xué)者恩斯特·馬赫嚴(yán)厲批評(píng)這句話觸犯了循環(huán)推理，因?yàn)槊芏仁琴|(zhì)量每單位體積。^]嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎?，牛頓的定義并沒有提到怎樣實(shí)際得到物質(zhì)數(shù)量。對(duì)于同類的物體，這問題并不困難，只要設(shè)定某參考物體S的質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，那么，兩個(gè)物體S的質(zhì)量必定是這標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的兩倍。對(duì)于不同類的物體，就比較復(fù)雜，假設(shè)這參考物體是一塊銀磚，那么，某塊金磚的質(zhì)量為何？是否要做原子分析？借著第二定律，操作定義嘗試從實(shí)際測(cè)量的方法，給出物體的質(zhì)量。通過這種方法定義的質(zhì)量，稱為慣性質(zhì)量。當(dāng)施加外力于某物體時(shí)，慣性質(zhì)量衡量這物體對(duì)于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的抗拒。

根據(jù)第二定律，在任何瞬間，物體遵循方程 。這方程可以解釋質(zhì)量與慣性之間的關(guān)系。假設(shè)分別施加相同的外力于兩個(gè)質(zhì)量不同的物體，則質(zhì)量較大的物體的加速度較小，而質(zhì)量較小的物體的加速度較大。因此，質(zhì)量較大的物體在響應(yīng)外力的作用時(shí)，對(duì)于改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表現(xiàn)出較強(qiáng)的“抗拒性”。

然而，怎樣才能制造出相同的力？有很多方法可以解決這問題。例如，應(yīng)用彈簧的物理性質(zhì)，就可以解決這問題。當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，它會(huì)因?yàn)閮A向于回復(fù)原狀而產(chǎn)生彈力。兩個(gè)同樣的彈簧，假若被壓縮同樣的距離，則其各自產(chǎn)生的彈力必定相等，不論彈力的大小為何。因此，將兩個(gè)物體，分別安裝在這彈簧的末端，就可以確保這兩個(gè)物體都感受到相等的力。假設(shè)這質(zhì)量分別為 {\displaystyle m_{A}} 的兩個(gè)物體A、B，由于感受到力F

F，加速度分別為 則

因此，可以從 計(jì)算出

按照這公式，選擇一個(gè)參考物體A，定義它的質(zhì)量為（譬如說）1千克。然后，通過測(cè)量與參考物體感受到同樣大小的力而產(chǎn)生的加速度，就可以計(jì)算出任何其它物體B的質(zhì)量。^[3]

力的操作定義

古斯塔夫·基爾霍夫主張定義外力為質(zhì)量與加速度的乘積。^[6]按照這方法，第二定律只是一個(gè)定義式，而不是自然法則。實(shí)際而言，這方法沒有將大自然里各種各樣的力納入考量，它忽略了每一種力的獨(dú)特性。為了要顯示出這獨(dú)特性，可以采用操作定義的方法來給出定義。

兩個(gè)同樣的彈簧，假若被壓縮同樣的距離，則其各自產(chǎn)生的彈力必定相等。將這兩個(gè)彈簧并聯(lián)，可以制成兩倍的彈力。將一物體的兩邊分別連接這兩個(gè)彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用于物體的合力為零，物體會(huì)保持靜止?fàn)顟B(tài)。應(yīng)用這些結(jié)果，設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)單位力為某彈簧壓縮某距離所產(chǎn)生的彈力，就可以制成任意標(biāo)準(zhǔn)單位力倍數(shù)的彈力。這可以用來做測(cè)量實(shí)驗(yàn)，比較任意彈力，給予任意彈力測(cè)量值。這方法也可以給予任意萬(wàn)有引力、地球引力測(cè)量值。

可變質(zhì)量系統(tǒng)

火箭的燃料經(jīng)過燃燒以后，會(huì)產(chǎn)生高溫高壓氣體，經(jīng)過加速排氣到外界，就可以推動(dòng)火箭前進(jìn)。這種可變質(zhì)量系統(tǒng)不是封閉系統(tǒng)，不能直接應(yīng)用第二定律。因?yàn)椋径?，第二定律只能?yīng)用于粒子（或理想化為粒子的物體）。對(duì)于多粒子系統(tǒng)案例，必需將第二定律加以延伸為